Question

如图，已知抛物线y=-x²+px+q的对称轴为x=-3，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（-1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）

• A、（0，2）
• B、（

  4

  3

  ，0）
• C、（0，2）或（

  4

  3

  ，0）
• D、以上都不正确

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．

解答：解：如图，∵抛物线y=-x²+px+q的对称轴为x=-3，点N（-1，1）是抛物线上的一点，
∴

- p -2 =-3 1=-1-p+q

，
解得，

p=-6 q=-4

．
∴该抛物线的解析式为y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
∴M（-3，5）．
∵△PMN的周长=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y=ax+t（a≠0），则

5=3a+t 1=-a+t

，
解得，

a=1 t=2

，
故该直线的解析式为y=x+2．
当x=0时，y=2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（-

4

3

，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）或（-

4

3

，0）．
故选：D．

点评：本题考查了二次函数的综合题．在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．