Question

如图，已知AD∥BC，∠ADP=90°，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在DC上．
（1）求证：点P为DC中点．
（2）试探究线段AB、AD、BC的数量关系．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点P作PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答；
（2）利用“HL”证明△ADP和△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，同理可证BC=BE，然后根据AB=AE+BE证明即可．

解答：（1）证明：如图，过点P作PE⊥AB于E，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴PD=PE，PC=PE，
∴PC=PD，
∴点P为DC中点；

（2）解：在△ADP和△AEP中，

AP=AP PD=PE

，
∴△ADP≌△AEP（HL），
∴AD=AE，
同理可证，BC=BE，
∵AE+BE=AB，
∴AD+BC=AB．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等的直角三角形是解题的关键．