Question

3．按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a（x-h）²经过点（-3，2），（-1，0），求该抛物线线的解析式；
（2）形状与y=-2（x+3）²的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（!，0）的抛物线解析式；
（3）已知二次函数图象的顶点在x轴上，且图象经过点（2，-2）与（-1，-8），求此函数解析式．

Answer 1

分析 （1）把两已知点的坐标代入y=a（x-h）²得到关于a和h的方程组，然后解方程组求出a和h的值即可；
（2）设顶点式y=a（x-1）²，然后根据二次函数的性质确定a的值；
（3）由于二次函数图象的顶点在x轴上，则可设顶点式y=a（x-h）²，然后把两已知点的坐标代入得到关于a和h的方程组，然后解方程组求出a和h的值即可．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a（-3-h）^{2}=2}\\{a（-1-h）^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{h=-1}\end{array}\right.$．
所以抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
因为抛物线y=a（x-1）²与y=-2（x+3）²的图象形状相同，但开口方向不同，
所以a=2，
所以所求抛物线解析式为y=2（x-1）²；
（3）设抛物线解析式为y=a（x-h）²，
把（2，-2）与（-1，-8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a（2-h）^{2}=-2}\\{a（-1-h）^{2}=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}}\\{h=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{h=1}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{9}$（x-5）²或y=-2（x-1）²．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．