Question

8．当x发生变化时，分式$\frac{3{x}^{2}+6x+5}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$的最小值是4，$\frac{{x}^{2}+2x-2}{{x}^{2}+2x+2}$的最小值为-3．

Answer 1

分析 将$\frac{3{x}^{2}+6x+5}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$变形为6-$\frac{1}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$，$\frac{{x}^{2}+2x-2}{{x}^{2}+2x+2}$变形为1$-\frac{4}{{x}^{2}+2x+2}$，然后求得分母的最大值从而可求得答案．

解答 解：$\frac{3{x}^{2}+6x+5}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$=$\frac{3{x}^{2}+6x+6-1}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$=6-$\frac{1}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$，
当x=-$\frac{b}{2a}$=-1时，$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1$有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$．
∴6-$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=6-2=4．
∴分式$\frac{3{x}^{2}+6x+5}{\frac{1}{2}{x}^{2}+x+1}$的最小值是4．
$\frac{{x}^{2}+2x-2}{{x}^{2}+2x+2}$=$\frac{{x}^{2}+2x+2-4}{{x}^{2}+2x+2}$=1$-\frac{4}{{x}^{2}+2x+2}$，
当x=-1时，x²+2x+2有最小值，最小值为1．
∴1-$\frac{4}{1}$=-3．
∴分式$\frac{{x}^{2}+2x-2}{{x}^{2}+2x+2}$的最小值为-3．
故答案为：4；-3．

点评 本题主要考查的是二次函数的最值，能够将分式进行正确变形是解题的关键．