Question

【题目】如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点．

（1）当四边形是菱形时，求点的坐标；

（2）若点为直线上一动点，求的面积；

（3）作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）

【解析】

（1）根据菱形的性质可得OD=OC=m，求出m=，则D点坐标可求出；
（2）联立直线与抛物线求出交点A、B的坐标，然后求出AB的长，再根据AB∥OD求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可；
（3）根据A、B的坐标求出AM、BM的长，再求出点M的坐标，从而得到⊙M的半径为2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出QN=QB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，然后根据勾股定理列式计算即可．

(1) ，， 菱形

(2)①与抛物线交于两点，

∴联立，，

解得，

∵点在点的左侧

，

∴直线的解析式为，直线的解析式为

，两直线之间距离

(3) ，

，

由点坐标，点坐标可知以为半径的圆的半径为

取的中点，连接，

则，

，，

，

，

由三角形三边关系，当三点共线时最小，

∵直线的解析式为，

∴直线与对称轴夹角为45°，

∵点关于对称轴对称，

，

由勾股定理得，最小值

故答案为：.