Question

数学课上，小军把一个菱形通过旋转且每次旋转120°后得到甲的图案．第一次旋转后小军把图形放在直角坐标系中（如图乙所示），若菱形ABCO的∠AOC=60°，A（2，0），
（1）填空：点A₁与点C关于

O

对称，且A₁ （

-1

，

3

），点C（

1

，

-

3

）
（2）请你在乙图中画出小军第二次旋转后的得到的菱形A₂B₂C₂O．
（3）请你求出第二次旋转后点A，B，C对应点A₂，B₂，C₂的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先过点C作CE⊥x轴于点D，由菱形的性质与三角函数的知识，可求得点C的坐标，由旋转的性质，可得点A₁与点C关于O对称，则可求得A₁的坐标；
（2）利用旋转的性质，即可作出菱形A₂B₂C₂O．
（3）由（1），可求得点A，B，C的坐标，由对称性可得点A₂，B₂，C₂的坐标．

解答：解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点D，
∵菱形ABCO的∠AOC=60°，A（2，0），
∴OC=OA=2，
∴OD=OC•cos30°=1，CD=OC•sin30°=

3

，
∴点C的坐标为：（1，-

3

），
根据旋转的性质可得：∠A₁OA=120°，
∴∠A₁OC=120°+60°=180°，
∴点A₁与点C关于O对称，且A₁ （-1，

3

）；
故答案为：O，（-1，

3

），（1，-

3

）；

（2）如图，菱形A₂B₂C₂O即为所求；

（3）∵菱形OABC中，点A（2，0），C（1，-

3

），
∴B（3，-

3

），
∵菱形A₂B₂C₂O与菱形CBAO关于y轴对称，
∴A₂的坐标为：（-1，-

3

），B₂的坐标为：（-3，-

3

），C₂的坐标为：（-2，0）．

点评：此题考查了旋转的性质、菱形的性质以及轴对称的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．