如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.∠B=90°.AD=24cm.AB=3cm.BC=20cm.动点P从D点开始沿DA以2cm/s的速度向A运动.动点Q从B点开始沿BC以1cm/s的速度向C运动.P.Q分别从D.B同时出发.当其中一点到端点时.另一点也随之停止运动.连结PQ.设运动时间为t．(1)在P.Q运动过程中.是否存在线段PQ把梯形分成面积相等的两部分?若存在.请求出PQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=3cm，BC=20cm，动点P从D点开始沿DA以2cm/s的速度向A运动，动点Q从B点开始沿BC以1cm/s的速度向C运动，P、Q分别从D、B同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，连结PQ，设运动时间为t．
（1）在P、Q运动过程中，是否存在线段PQ把梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出PQ的长度；
（2）在P、Q运动过程中，△PCD能成为等腰三角形？若能，请求出t．

分析（1）根据题意得：BQ=t，DP=2t，则CQ=20-t，AP=24-2t，与梯形面积公式得出方程，解方程求出t的值，则BQ=2，AP=20，作QM⊥AD于M，由勾股定理求出PQ即可；
（2）作CE⊥AD于E，则四边形ABCE是矩形，得出AE=BC=20，CE=AB=3，∴DE=AD-AE=4，由勾股定理求出CD=5，分三种情况：
①DP=DC=5时，t=$\frac{5}{2}$s；
②CP=CD=5时，PE=DE=4，得出DP=8，即可求出t值；
③PC=PD时，P为CD的垂直平分线与AD的交点，证明△PDF∽△CDE，得出对应边成比例求出DP，即可得出t的值．

解答解：（1）存在，理由如下：如图1所示：
根据题意得：BQ=t，DP=2t，则CQ=20-t，AP=24-2t，
若线段PQ把梯形分成面积相等的两部分，
则梯形ABQP的面积=梯形CDPQ的面积，
∴$\frac{1}{2}$（t+24-2t）×3=$\frac{1}{2}$（20-t+2t）×3，
解得：t=2，
∴BQ=2，AP=20，
作QM⊥AD于M，则四边形ABQM是矩形，
∴AM=BQ=2，QM=AB=3，
∴PM=AP-AM=20-2=18，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{37}$；
∴存在线段PQ把梯形分成面积相等的两部分，此时t=2s，PQ=3$\sqrt{37}$；
（2）作CE⊥AD于E，则四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=20，CE=AB=3，
∴DE=AD-AE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
分三种情况：①DP=DC=5时，如图2所示：
则t=$\frac{5}{2}$s；
②CP=CD=5时，如图3所示：
则PE=DE=4，
∴DP=8，∴t=8÷2=4（s）；
③PC=PD时，P为CD的垂直平分线与AD的交点，如图4所示：
则DF=$\frac{5}{2}$，
∵∠CED=∠PFD=90°，∠D=∠D，
∴△PDF∽△CDE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DP}{DC}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{DP}{5}$，DP=$\frac{25}{8}$，
∴t=$\frac{25}{8}$÷2=$\frac{25}{16}$；
综上所述：在P、Q运动过程中，△PCD能成为等腰三角形，t的值为$\frac{5}{2}$s或4s或$\frac{25}{16}$s．

点评本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的运用；熟练掌握梯形的性质和勾股定理是解决问题的关键．

	A．	甲体育生此次射击成绩的众数为7环
	B．	乙体育生此次射击成绩的平均数为7环
	C．	甲体育生此次射击成绩的成绩比乙体育生的稳定
	D．	乙体育生此次射击成绩的中位数为6环

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