Question

设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点，且△APQ是正三角形，那么正三角形的边长为（　　）

• A、

  6

  -

  2

• B、

  6 + 2

  3

• C、

  5

  -

  2

• D、

  5 + 2

  3

Answer 1

分析：先设BP=x，CQ=y，利用勾股定理可分别求出等边三角形MNC的三边长，联立，解二元二次方程组，可求x、y，从而求出等边三角形APQ的边长．

解答：解：设BP=x，CQ=y，
在Rt△ABP中，有AB²+BP²=AP²，即1+x²=AP²；
在Rt△ADQ中，有AD²+DQ²=AQ²，即（1-y）²+1=AQ²；
在Rt△PCQ中，有PC²+CQ²=PQ²，即（1-x）²+y²=PQ²；
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=AQ，
∴1+x²=（1-x）²+y²=（1-y）²+1，
解得y=

3

-1（负数不合题意，舍去），x=2-

3

，
∴AP²=1+（2-

3

）²=8-4

3

=（

6

-

2

）²，
∴AP=

6

-

2

．
故选A．

点评：本题主要考查了勾股定理、等边三角形的性质、解二元二次方程组，难度较大．