Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）若平面内有M（6，3），D为BC延长线上的一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线AD的解析式；
（3）若△MDC沿着x轴负半轴的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，点M、C、D的对应点分别为M′、C′、D′，4秒后△MDC停止运动，设△M′C′D′与△ABC重合部分的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）求出方程x²-4x+3=0的解救可以求出点B、点C的坐标；
（2）作AE⊥x轴于E，MF⊥x轴于F，由点A的坐标可以求出AE、CE的值，求出AC的值，由M的坐标可以求出MF、CF的值进而可以求出MC的值，在由∠DMC=∠BAC，就可以得出△ABC∽△MDC，就可以求出CD的值，从而求出D的坐标，再由待定系数法就可以求出直线AD的解析式；
（3）运用数学分类讨论思想，当0≤t≤2时，求出其表达式，当2＜t≤4时根据等腰直角三角形的写作和相似三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）∵x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴OB=1，OC=3，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）如图1，作AE⊥x轴于E，MF⊥x轴于F，
∵A（-3，6），
∴AE=6，EC=OE+OC=6，
∴∠ACB=45°，AC=6

2

．
∵M（6，3），
∴MF=3，CF=OF-OC=3，
∴∠MCD=45°，CM=3

2

．
∴∠ACB=∠MCD
∵∠DMC=∠BAC，
∴△ABC∽△MDC，
∴

CD

BC

=

MC

AC

=

1

2

，
∴CD=2，OD=5，
∴D（5，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得

6=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
∴y=-

3

4

x+

15

4

；

（3）①如图2，当0≤t≤2时，
∵∠ACB=∠M′C′D′=45°，
∴重叠部分△GC′C为等腰直角三角形．
∵C′C=t，
∴S=

1

2

×t×

t

2

=

t2

4

，
②如图3，当2＜t≤4时，
∵∠ACB=∠MC′D′=45°，
∴△GC′C为等腰直角三角形．
∵C′C=t，C′D′=2，
∴CD′=t-2．
过H作HP⊥x轴于点P，由∠ABC=∠MD′C′得∠ABE=∠HD′P，
∴△ABE∽△HD′P．
∴

AE

BE

=

HP

D′P

．
∵AE=6，BE=2，
∴

HP

D′P

=3．
设D′P=m，则HP=3m，
∵△PHC是等腰直角三角形，
∴PC=HP=3，
∴4m=t-2，
∴HP=

3

4

（t-2），
∴S=S_△GC′C-S_△HD′C=

1

2

×t×

t

2

-

1

2

（t-2）×

3

4

（t-2）=-

1

8

t2+

3

2

t-

3

2

．

点评：本题考查了解一元二次方程的运用，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，动点问题的运用，解答本题时灵活运用三角形相似的性质是关键．