Question

如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x²-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒
（1）设△APB和△OPB的面积分别为S₁，S₂，求S₁：S₂；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，求出时间t；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出OA和OB的长度，P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，而两个三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）过C作CD垂直AB，垂足为D，设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，然后根据勾股定理列出方程式解答即可；
（3）分别取三个点做顶角的顶点，然后求出符合题意的t的值．

解答：解：（1）x²-14x+48=0 x₁=6，x₂=8； OA=8，OB=6 AB=10（3分）
P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3，

（2）过C作CD垂直AB，垂足为D，
设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，
在直角三角形CDA中：CD²+AD²=AC²，
x²+4²=（8-x）²
x=3（7分）
所以C点的坐标（3，0）
BC的解析式：y=-2x+6（9分）

（3）①BP=OB时，t=6（10分）
②BP=OP时，P在OB的中垂线上，y_p=3，代入直线BC的解析式得P（

3

2

，3），
利用勾股定理可得BP=

3 5

2

③OB=OP时，t=

24 5

5

．（12分）

点评：本题主要考查对与勾股定理和一元二次方程的应用．