Question

6．三角形ABC三边上的点D、E、F满足：BD=DC，CE=2EA，AF=3FB，AD、BE、CF两两交于P、Q、R三点，求S_△PQR是三角形ABC面积的几分之几？

Answer 1

分析 分别过E、F、D三点作三边的平行线，依次计算△APE、△BFQ、△DRC与△ABC面积的比，最后利用求差法得出结论．

解答 解：如图1，过E作EG∥BC交AD于G，
∵CE=2AE，
∴AC=3AE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∵EG∥CD，
∴△AGE∽△ACD，
∴$\frac{EG}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴CD=3EG，
同理△GEP∽△BDP，
∴$\frac{PE}{BP}=\frac{GE}{BD}=\frac{EG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BP=3PE，BE=4PE，
∴S_△APE=$\frac{1}{4}$S_△ABE=$\frac{1}{12}$S_△ABC，

如图2，过F作FM∥AC，交BE于M，
∵AF=3BF，
∴AB=4BF，
∴S_△BFC=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∵FM∥AC，
∴△BFM∽△BAE，
∴$\frac{FM}{AE}=\frac{BF}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{FM}{EC}$=$\frac{1}{8}$，
同理得：△FMQ∽△CEQ，
∴$\frac{FQ}{CQ}=\frac{FM}{EC}$=$\frac{1}{8}$，
∴S_△BFQ=$\frac{1}{9}$S_△BFC=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{36}$S_△ABC，

如图3，过D作DN∥AB，交FC于N，
∵BD=DC，
∴FN=NC，
∴$\frac{DN}{BF}=\frac{1}{2}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{DN}{AF}$=$\frac{1}{6}$，
∵DN∥AF，
∴△DNR∽△AFR，
∴$\frac{DN}{AF}$=$\frac{DR}{AR}$=$\frac{1}{6}$，
∴S_△DRC=$\frac{1}{7}$S_△ADC=$\frac{1}{7}$×$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{14}$S_△ABC，
∵S_△BFC=S_△BFQ+S_{四边形QBDR}+S_△DRC，
$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{36}$S_△ABC+S_{四边形QBDR}+$\frac{1}{14}$S_△ABC，
∴S_{四边形QBDR}=$\frac{19}{126}$S_△ABC，
综上所述，∵S_△ADC=S_△APE+S_{四边形PDCE}，
∴S_{四边形PDCE}=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$-$\frac{1}{12}{S}_{△ABC}$=$\frac{5}{12}{S}_{△ABC}$，
S_△PQR=S_△ABC-S_△ABE-S_{四边形QBDR}-S_{四边形PDCE}，
=S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{19}{126}$S_△ABC-$\frac{5}{12}{S}_{△ABC}$，
=$\frac{25}{252}{S}_{△ABC}$．
答：S_△PQR是三角形ABC面积的252分之25．

点评 本题是三角形的面积问题，考查了三角形的面积与底和高的关系，明确同高三角形面积的比等于对应底边的比，熟练掌握平行相似的判定方法，知道两三角形相似，对应边成比例．