Question

9．如图所示：△ABC和△ECD是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，求证：
（1）△ACN≌△BCM；
（2）MN∥BD．

Answer 1

分析 （1）由两三角形为等边三角形，得到两对边相等，一对角为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由两个角为60度，且夹边AC=BC，利用ASA可证利结论；
（2）由（1）可得CM=CN，可证得△CMN为等边三角形，利用平行线的判定可证明MN∥BD．

解答 证明：
（1）∵△ABC与△ECD均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠CBN}\\{AC=BC}\\{∠ACN=∠BCM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA）；
（2）由（1）可知△ACN≌△BCM，
∴CM=CN，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠NMC=∠ACB，
∴MN∥BD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．