Question

如图，已知直线EF∥x轴，点E的坐标是（0，-4），又知抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P（0，m）．
（1）求A，B两点的坐标，并问当a取不同值时，A，B两点的坐标是否发生变化？为什么？
（2）当二次函数y=ax²-2ax-3a的顶点在x轴与直线EF之间（不在x轴，EF上）时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，则ax²-2ax-3a=0，所以利用因式分解法即可求得x的值，则易求点A、B的坐标．
（2）利用抛物线顶点坐标公式求得该函数顶点坐标的纵坐标，然后根据题意列出关于m的不等式，通过解不等式即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A，B两点，
∴令y=0，则ax²-2ax-3a=0，
∴a（x-3）（x+1）=0，
∵a≠0，
∴（x-3）（x+1）=0，
解得，x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）．

当a取不同值时，A，B两点的坐标不会改变．
∵a（x-3）（x+1）恒等于0，
∴只要a≠0时，无论a取何值，都有（x-3）（x+1）=0，即该抛物线与x的交点坐标都是A（-1，0），B（3，0）．

（2）∵抛物线y=ax²-2ax-3a，
∴顶点坐标是：（1，-4a）．
把点P（0，m）代入解析式，得
m=-3a，
解得，a=-

m

3

．
∵直线EF∥x轴，点E的坐标是（0，-4），二次函数y=ax²-2ax-3a的顶点在x轴与直线EF之间（不在x轴，EF上），
∴-4＜-4a＜0，即-4＜

4

3

m＜0，
解得，-3＜m＜0，
∵m＜0，
∴-3＜m＜0符合题意．即m的取值范围是-3＜m＜0．

点评：本题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象顶点坐标以及不等式的解法等知识点．注意此题“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．