Question

14．求代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$的最小值．

Answer 1

分析 原问题转化为：求x轴上一点到A（0，-2）以及B（6，3）两点的和的最小值，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．显然两点间线段最短，

解答 解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），
原式可化为$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（6-x）^{2}+（0-3）^{2}}$，
即$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=AP，$\sqrt{（6-x）^{2}+（0-3）^{2}}$=BP，
AB=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$．
代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$的最小值为$\sqrt{61}$．

点评 本题主要考查了函数的最值问题、轴对称--最短路线问题．解答此题的关键是根据代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$，将问题转化为：求x轴上一点到（0，-2）以及（6，3）两点的和的最小值，并且利用了“两点间线段最短”的知识点