Question

【题目】（1）尝试探究

如图①，在中，，，点，分别是边上的点，且．

①的值为________；

②直线与直线的位置关系为________；

（2）类比延伸

如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；

（3）拓展运用

若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）或

【解析】

（1）①根据平行线的性质及含30°角的直角三角形的性质即可求得的值；②根据可得；（2）和分别在和中，利用“两边对应成比例且夹角相等”证得两个三角形相似，即可求得的值，进而通过等角的代换即可证得；（3）分点在之间和点在之间两种情况，利用相似三角形的性质和勾股定理即可求解．

解：（1）①；

②；

[解法提示]∵在中，，，，∴，

∴，

∴，

∴，

∵点分别是边，上的点，，

∴，∴．

（2）；；

理由如下：由（1）及旋转的性质知，，

．

在中，，

在中，，

∴，

又∵，

，

∴，

∴，

∴．

如图①，延长交于点，交于点，

图①

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即；

（3）或．

[解法提示]①如图②，当点在之间时，由（2）可得，

图②

∴．

设，则，

∵点在一条直线上，

∴，

∵，∴，

在中，，

∴，

解得或（舍去），

∴；

②如图③，当点在之间时，同理可得，，

图③

∵，

∴，

在中，，

解得或（舍去），

∴．

综上所述，的长为或．