Question

【题目】如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、，与轴交于点，抛物线顶点为，直线交轴于点．

（1）求抛物线函数表达式；

（2）若点是位于直线下方抛物线上的一动点，以、为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标；

（3）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）平行四边形PBFD的面积S为2，P（2，-3）；（3）存在．点G的坐标为．

【解析】

（1）先设抛物线的顶点式，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）根据题意，先求出BD的解析式，当PF的值最大时，面积取到最大值，即可得到答案；

（3）先证明，设点G的坐标为，利用三角函数值，求出t的值，即可得到点G的坐标．

解：（1）设抛物线为

把A（1，0），C（0，3）代入得

得：，

，

即；

（2）设直线BD为y＝kx+b，如图，过点P作PF⊥x轴交直线BD于F，

将点（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，

解得，k＝2，b＝6，

∴BD解析式为y＝2x-6，

设点P（a，a2-2a-3），则F（a，2a-6），

则PF＝2a-6-（a2-2a-3）

＝-a2+4a-3

当a＝2时，PF有最大长度1，

∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF

＝PF2=1

∴以PB、PD为相邻的两边作平行四边形PBFD，当平行四边形MANB的面积最大时，

S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，

∴P（2，-3）；

（3）存在．如图2，

由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，

BC=，CD=，BD=，

∵，即，

∴，

∴，

∵点G在线段BD上，所以设点G的坐标为，

过点G作GH⊥y轴于点H，当tan∠GCH=3时，∠BDC=∠GCE，

解得：

∴，

∴点G的坐标为：．