Question

已知在任意四边形ABCD中，点E、F分别将AD、BC分成两部分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：S_{四边形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：证明题

分析：作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H，DK⊥BC于K，过D点作DM⊥AG于M，交EH于N，根据三角形面积公式得到S_△ABF=

1

2

AG•BF，S_△DCF=

1

2

DK•FC，S_△EBC=

1

2

EH•BC，
由于DM⊥AM，易得MG=NH=DK，则S_△ABF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF，再证明△DNE∽△DMA，利用相似比可得到AM=

m+n

n

EN，由CF：BF=m：n得到BF=

n

m+n

BC，
然后把S_△ABF+S_△DCF进行变形得到S_△ABF+S_△DCF=

1

2

EH•BC，则S_△ABF+S_△DCF=S_△EBC，最后利用面积的和差即可得到结论．

解答：证明：作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H，DK⊥BC于K，过D点作DM⊥AG于M，交EH于N，如图，
点E、F分别将AD、BC分成两部分的比为m：n，即AE：ED=CF：BF=m：n，
S_△ABF=

1

2

AG•BF，S_△DCF=

1

2

DK•FC，S_△EBC=

1

2

EH•BC，
∵DM⊥AM，
∴MG=NH=DK，
∴S_△ABF=

1

2

（AM+DK）•BF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF，
∵EN∥AM，
∴△DNE∽△DMA，
而AE：ED=m：n，
∴

EN

AM

=

DE

DA

=

n

m+n

，
∴AM=

m+n

n

EN，
∵CF：BF=m：n，
∴BF=

n

m+n

BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF+

1

2

DK•FC=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BC=

1

2

•

m+n

n

EN•

n

m+n

BC+

1

2

DK•BC=

1

2

EN•BC+

1

2

DK+BC=

1

2

（EN+DK）•BC=

1

2

（EN+NH）•BC=
=

1

2

EH•BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=S_△EBC，
∴S_△ABP+S_△PBF+S_△CDQ+S_△QFC=S_{四边形EPFQ}+S_△PBF+S_△QFC，
∴S_{四边形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．

点评：本题考查了面积及等积变换：三角形面积等于底与高的积的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方；同底等高的三角形的面积相等．