Question

如图，二次函数图象的顶点是P（2，-1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象项的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S_△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求

MP

MQ

的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设二次函数顶点式解析式y=a（x-2）²-1（a≠0），然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）①令y=0求出点A的坐标，然后求出∠PAB=45°，再求出∠BAQ=45°，然后求出直线AQ的解析式，再与二次函数解析式联立求出点Q的坐标，再利用勾股定理列式求出AP、AQ的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S_△APM：S_△AMQ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可．

解答：解：（1）设二次函数顶点式解析式y=a（x-2）²-1（a≠0），
将点B（3，0）代入得，a（3-2）²-1=0，
解得a=1，
所以，函数解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
即y=x²-4x+3；

（2）①令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，-1），
∴∠PAB=45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ=90°-45°=45°，
∴直线AQ的解析式为y=x-1，
联立

y=x2-4x+3 y=x-1

，
解得

x1=1 y1=0

，

x2=4 y2=3

，
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，AP=

(2-1)2+(-1-0)2

=

2

，
AQ=

(4-1)2+(3-0)2

=3

2

，
∴S_△PAQ=

1

2

×

2

×3

2

=3；

②∵点P（2，-1），Q（4，3），
∴S_△APM：S_△AMQ=1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
∴

MP

MQ

=

S△APM

S△AMQ

=

1

3

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，两点间的距离的求解，等底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底边的比．