Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD

（1）求证：∠CDE=2∠B

（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半径及弦DF的长

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：连接OD．

∵直线CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°．

又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．

∴∠EOD+∠ODE=90°，

∴∠CDE=∠EOD． 

又∵∠EOD=2∠B，

∴∠CDE=2∠B．

（2）解：连接AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵BD：AB=：2，

∴在Rt△ADB中cosB=，

∴∠B=30°． 

∴∠AOD=2∠B=60°．

又∵∠CDO=90°，

∴∠C=30°． 

在Rt△CDO中，CD=10，

∴OD=10tan30°=，

即⊙O的半径为． 

在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，

∴DE=CDsin30°=5． 

∵DF⊥AB于点E，

∴DE=EF=DF．

∴DF=2DE=10．         

【解析】（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周

角的2倍，可得∠CDE=2∠B；

（2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．