Question

20．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过AO的中点C且与AB交于点D．
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△OCP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过C作x轴的垂线，垂足为点E，由AB也与x轴垂直，得到CE与AB平行，又C为OA的中点，可得出E为OB的中点，即CE为三角形AOB的中位线，在直角三角形AOB中，根据斜边AO的长及sin∠AOB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理求出OB的长，利用三角形中位线定理得到CE等于AB的一半，可得出CE的长，即为C的纵坐标，由OE等于OB的一半，由OB的长求出OE的长，即为点C的横坐标，确定出点C的坐标，将点C的坐标代入到y=$\frac{k}{x}$中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）由AB与x轴垂直，且D在AB上，可得出D与B的横坐标相同，由OB的长得出D的横坐标，将求出的D的横坐标代入反比例函数解析式中，求出对应的y的值，即为D的纵坐标，即可确定出D的坐标；
（3）分OC=PC，OC=OP及PC=OP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）过C点作CE⊥OB于E，
∵AB⊥OB，CE⊥OB，
∴CE∥AB，又C为OA的中点，
∴E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，OE=$\frac{1}{2}$OB，
在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠AOB=$\frac{AB}{AO}$，即AB=10×$\frac{3}{5}$=6，
根据勾股定理得：OB=$\sqrt{{OA}^{2}-{AB}^{2}}$=8，
∴OE=4，CE=3，
∴C的坐标是（4，3），
将C（4，3）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=12，
则反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$；

（2）∵AB⊥x轴，D在AB上，且OB=8，
∴点D的横坐标为8，
将x=8代入y=$\frac{12}{x}$中得：y=1.5，
∴点D的坐标为（8，1.5）；

（3）当OC=PC时，
∵OA=10，CO=5，CE⊥OB，AB⊥OB，
∴CE是△OAB的中线，
∴CE是OB的垂直平分线，
∴点P与点B重合，
∴P₁（8，0）；
当OC=OP时，
∵OC=5，
∴P₂（-5，0），P₃（5，0）；
当OP=PC时，
∵C（4，3），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，OC的中点为（2，$\frac{3}{2}$），
∴设线段OC的垂直平分线为y=-$\frac{4}{3}$x+b（k≠0），
∴$\frac{3}{2}$=-$\frac{8}{3}$+b，解得b=$\frac{25}{6}$，
∴此直线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
∴当y=0时，x=$\frac{25}{8}$，
∴P₄（$\frac{25}{8}$，0）．
综上所述，P₁（8，0），P₂（-5，0），P₃（5，0），P₄（$\frac{25}{8}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，在解答（1）时要作出辅助线，构造出三角形的中位线，利用勾股定理求解，在解答（3）时要进行分类讨论，不要漏解．