Question

1．如图，AB为圆O的直径，C，D为圆上两点，$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$+$\widehat{BC}$，连AC、BD相交于M，AB=4，CM=$\sqrt{2}$，求AM的长．

Answer 1

分析 连接BC，由AB为圆O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠DBC=∠D+∠DCM，根据外角的性质得到∠CMB=∠DCM+∠D，等量代换得到∠CMB=∠CBM，由等腰三角形的性质得到BC=CM=$\sqrt{2}$，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：连接BC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$+$\widehat{BC}$，
∴∠DBC=∠D+∠DCM，
∵∠CMB=∠DCM+∠D，
∴∠CMB=∠CBM，
∴BC=CM=$\sqrt{2}$，
∴AC²+CB²=AB²，
即：（AM+$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=4²，
解得：AM=$\sqrt{14}$-$\sqrt{2}$，（负值舍去）．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．