Question

17．如图，C为线段AB上一点，以BC为直径作⊙O，再以AO为直径作⊙M交⊙O于D、E，过点B作AB的垂线交AD的延长线于F，连结CD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：AD²=AC•AB；
（3）若AC=2，且AC与AD的长是关于x的方程x²-2（1+$\sqrt{5}$）x+k=0的两个根，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证OD⊥AD即可；已知AO是⊙M的直径，那么根据圆周角定理即可判定OD⊥AD，由此得证；
（2）连接BD，由弦切角定理得出∠ABD=∠ADC，故可得出△ADC∽△ABD，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）由根与系数的关系可求得AD的长，进而可根据切割线定理求得AB的值；设出DF、BF的长，然后在Rt△ABF中，由勾股定理求出BF的长即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OD；
∵OA是⊙M的直径，
∴∠ADO=90°；
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半径，
故AD是⊙O的切线．

（2）解：连接BD，
∵由（1）知AD是⊙O的切线，
∴∠ABD=∠ADC．
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，即AD²=AC•AB；

（3）解：由题意知：AC+AD=$\sqrt{5}$；
∵AC=2，则AD=2$\sqrt{5}$；
∴由切割线定理知：AD²=AC•AB，即AB=AD²÷AC=10；
∵FD、FB都是⊙O的切线，
∴FD=FB；
设FD=FB=x，则AF=2$\sqrt{5}$+x；
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即：
10²+x²=（2$\sqrt{5}$+x）²，解得x=4$\sqrt{5}$，即线段BF的长为4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的圆的综合题，涉及到切线的判定、切割线定理、切线长定理、勾股定理以及韦达定理等知识的综合应用，难度适中．