Question

5．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$；
（3）若$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{2}$，求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；
（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；
（3）通过设AB=2a，则BC=3a，根据题意，推出OC的长度，然后通过正确函数的定义求得正切值即可．

解答 解：（1）∠CBD与∠CEB相等．
证明：∵BC⊥AB，∠CBD与∠2互余，∠CEB=∠EBO与∠2互余，
∴∠CBD=∠CEB；

（2）由（1）∠CBD=∠CEB，∠C是公共角，
∴△BCE∽△DCB，
∴对应边成比例：$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；

（3）∵在Rt△DEB中tan∠E=$\frac{BD}{BE}$，且由（2）$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，
∵BC=$\frac{3}{2}$AB，可设AB=2a，则BC=3a，而CD=OC-OD，
∴在Rt△OBC中根据勾股定理，OC=$\sqrt{{a^2}+{{（3a）}^2}}$=$\sqrt{10}a$，
∴CD=$\sqrt{10}a$-a，
∴得tan∠E=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{{\sqrt{10}-1}}{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于：（1）熟练运用圆周角定理，切线的性质；（2）根据（1）的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC；