题目内容

如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3）， $数学公式$ ．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的 $数学公式$ 倍，求点M的坐标．

解：（1）过点A（4，3）作AD⊥x轴于点D，则D（4，0），∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，∵tan∠ABD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BD=6，B点坐标为（-2，0）．
将B（-2，0），A（4，3）代入y=ax²+bx-3，
得 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3；
将B（-2，0），A（4，3）代入y=mx+n，
得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴一次函数解析式为y= $\text{[math]}$ x+1；

（2）设点P的坐标为（t， $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t-3），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H（t， $\text{[math]}$ t+1），
∴PH=（ $\text{[math]}$ t+1）-（ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t-3）=- $\text{[math]}$ t²+t+4，
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ PH•BD= $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ t²+t+4）•6=- $\text{[math]}$ t²+3t+12=- $\text{[math]}$ （t-1）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当t=1即P点坐标为（1，-3）时，△ABP的面积S最大，此时S_△ABP= $\text{[math]}$ ；

（3）设点M的坐标为（p， $\text{[math]}$ p+1），
由题意，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×| $\text{[math]}$ p+1|，
化简整理，得p²-12p+20=0，
解得p=2或10，
当p=2时， $\text{[math]}$ p+1= $\text{[math]}$ ×2+1=2；
当p=10时， $\text{[math]}$ p+1= $\text{[math]}$ ×10+1=6．
故所求点M的坐标为（2，2）或（10，6）．
分析：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，则D（4，0），∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据正切函数的定义求出BD=6，则B点坐标为（-2，0），再将B，A两点的坐标代入y=ax²+bx-3，运用待定系数法求出二次函数的解析式；将B，A两点的坐标代入y=mx+n，运用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）根据（1）中求出的抛物线的解析式可设点P的坐标为（t， $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t-3），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H（t， $\text{[math]}$ t+1），用含t的代数式表示PH的长度，再根据S_△ABP= $\text{[math]}$ PH•BD，求出S_△ABP=- $\text{[math]}$ t²+3t+12，配方后根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据（1）中求出的直线AB的解析式可设点M的坐标为（p， $\text{[math]}$ p+1），由点M与点A的距离是它到x轴距离的 $\text{[math]}$ 倍，列出关于p的方程，解方程即可．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式，平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离等重要知识点，难度不是很大．运用数形结合及方程思想是解题的关键．