Question

请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

所以：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

9

-

1

10

)
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

问题：
计算：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2004×2005

；
②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

49×51

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：阅读型,规律型

分析：（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，依此抵消即可求解；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为

1

n(2n-1)

=

1

2

（

1

n

-

1

2n-1

），依此抵消即可求解．

解答：解：①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2004×2005

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2004

-

1

2005

=1-

1

2005

=

2004

2005

；

②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

49×51

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

49

-

1

51

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

49

-

1

51

)
=

1

2

×(1-

1

51

)
=

1

2

×

50

51

=

25

51

．

点评：考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．