Question

已知抛物线经过

A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；

（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

 

         

Answer 1

解：（1）由于抛物线经过A（2，0），

所以，

解得.

所以抛物线的解析式为.    （*）

将（*）配方，得，

所以顶点P的坐标为（4，-2

令y=0，得，

解得.  所以点B的坐标是（6，0）.  

（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形.  

理由如下：

设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得   解得

      所以直线PB的解析式为

      又直线OD的解析式为

      所以直线PB∥OD.  

     设设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得  

解得.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.

设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以

所以直线BD的解析式为，

解方程组得

所以D点的坐标为（2,2）

     （3）符合条件的点M存在.验证如下：

过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.