题目内容
四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．
（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF；
（2）如图2，在（1）条件下，AG=
BG，求
；
（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE= 。（直接写出结果）
(1)证明见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
试题分析：（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用线段关系求出AF-BF=EF．
（2）延长AG与DC交于点F，设BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜边上的中点，求出
；
（3）连接DG，作EM⊥BC于M点，利用直角三角形求出DG，CD的长，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再运用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再运用勾股定理即可求出CE的长．
试题解析：(1)∵ 四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
又DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△AED和△BFA中，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE=BF，
∴AF-BF=EF，
（2）如图2，延长AG与DC交于点F，
∵AG=
BG，设BG=t，则AG=t，
在Rt△ABG中，AB=
，
∴G为BC的中点，
在△ABG和△FCG中，
∴△ABG≌△FCG（AAS），
∴AB=FC=CD，
又∵DE⊥AG，
在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，
∴EC=CD=CF，
∴
.
（3）如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，
∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，
∴在RT△DEG中，DG=
，
∵CG=CD，
∴在Rt△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，
∴CD=CG=
，
∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，
∴∠BAG=∠EDA，
∵∠ABG=∠DEA=90°，
∴△ABG∽△DEA，
∴
，
设AD=x，则AE=
，AG=
+1，
∴
，
解得x1=
，x2=
（舍去）
∴AE=
，
又∵∠BAG=∠MEG，
∴∠EDA=∠MEG，
∴△EMG∽△DEA
∴
，即
解得EM=
，MG=
，
∴CM=CG+MG=
，
∴CE=
．
考点：四边形综合题．
