Question

19．已知自然数m使二次根式$\sqrt{2m-6}$+$\sqrt{40-m}$有意义，关于x的方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析 根据二次根式有意义的条件可得3≤m≤40，根据求根公式可知：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=（2m-3）±$\sqrt{2m+1}$，根据3≤m≤40可知m的值为4或12或24或81，再把m值代入求解即可．

解答 解：∵二次根式$\sqrt{2m-6}$+$\sqrt{40-m}$有意义，
∴3≤m≤40，
解方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0，得x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=（2m-3）±$\sqrt{2m+1}$，
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴2m+1为完全平方数，
又∵m为整数，且3≤m≤40，2m+1为奇数完全平方数，
∴2m+1=9或25或49或81，解得m=4或12或24或40．
∴当m=4时，x=8-3±$\sqrt{2×4+1}$=5±3，x₁=8，x₂=2；
当m=12时，x=24-3±$\sqrt{2×12+1}$=21±5，x₁=26，x₂=16；
当m=24时，x=48-3±$\sqrt{2×24+1}$=45±7，x₁=52，x₂=38；
当m=40时，x=80-3±$\sqrt{2×40+1}$=77±9，x₁=86，x₂=68．

点评 本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax²+bx+c=0的解为x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$．要注意根据实际意义进行值的取舍．