Question

1．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x的图象与x轴交于O、C两点，点A在抛物线上，坐标为（5，a），点P是该抛物线位于x轴上方的动点，过点P的直线y=kx-$\frac{35}{3}$k（k≠0）交x轴于点B，连接OA、BA．
（1）点M、N分别在线段OB、AB上，点M以每秒5个单位长度的速度从点O向点B运动，同时，点N以每秒$\frac{5}{3}$个单位长度的速度从点A向点B运动，当点M、N其中一个点到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，在运动过程中，当直线PB垂直平分线段MN时，求对应t的值并求出此时点P的横坐标；
（2）在（1）的条件下，当直线PB垂直平分线段MN时，将△BMN沿着直线MN翻折得△B′MN，求△B′MN与△OAB重叠部分的面积；
（3）在x轴上有一点D（2，0），过点D作DE⊥OB交OA于点E，作DF⊥OA于点F，在线段OA上是否存在一点Q，使得△DEF绕点Q旋转180°后，点D、F的对应点D′、F′恰好落在抛物线上？若存在请求出点Q、D′、F′的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知A（5，5），B（$\frac{35}{3}$，0），AB=$\frac{25}{3}$，由BM=BN，可得$\frac{25}{3}$-$\frac{5}{3}$t=$\frac{35}{3}$-5t，t=1，推出可得M（5，0），N（$\frac{19}{3}$，4），推出MN的中点K坐标（$\frac{17}{3}$，2），设直线PB的解析式为y=kx+b，求出PB的解析式解方程组即可解决问题．
（2）如图2中，NB′与OA交于点T，MB′交OA于S，重叠部分是四边形MNTS．想办法求出B′、T、S的坐标，根据S_{四边形MNTS}=S_△BMN′-S_△STB′计算即可．
（3）根据△ODF是等腰直角三角形，点D（2，0），DF⊥OA，得出点F的坐标，设出Rt△DEF旋转后对应三角形是Rt△D'E'F'，由题意可知，F'与A重合，得出F'和Q点的坐标，再根据Rt△DEF≌Rt△D'E'F'，DF∥D'F'，得出点D'坐标，检验点D′在抛物线上即可．，

解答 解：（1）如图1中，

由题意可知A（5，5），B（$\frac{35}{3}$，0），AB=$\frac{25}{3}$，
∵PB垂直平分MN，
∴BM=BN，
∴$\frac{25}{3}$-$\frac{5}{3}$t=$\frac{35}{3}$-5t，
∴t=1，
∴可得M（5，0），N（$\frac{19}{3}$，4），
∴MN的中点K坐标（$\frac{17}{3}$，2），设直线PB的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{17}{3}k+b=2}\\{\frac{35}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{35}{9}}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{35}{9}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{7}{2}}\\{y=-\frac{1}{3}x+\frac{35}{9}}\end{array}\right.$，消去y得到9x²-69x+70=0，
解得x=$\frac{23±\sqrt{149}}{6}$，
∴点P的横坐标为$\frac{23±\sqrt{149}}{6}$．

（2）如图2中，NB′与OA交于点T，MB′交OA于S，重叠部分是四边形MNTS．

由题意可知B′（-$\frac{1}{3}$，4），M（5，0），N（$\frac{19}{3}$，4），B′N∥OB，
∴直线MB′的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{4}$，直线OA的矩形为y=x，
∴T（4，4），S（$\frac{15}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∴S_{四边形MNTS}=S_△BMN′-S_△B′ST=$\frac{1}{2}$×$\frac{20}{3}$×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×$\frac{13}{7}$=$\frac{67}{6}$．

（3）存在．如图3中，设 Rt△FDE旋转后对应三角形是Rt△F′D′E′．

∵△ODF是等腰直角三角形，点D（2，0），DF⊥OA，
∴点F的坐标为（1，1），
由题意可知，F'与A重合
∴点F'的坐标为（5，5），
∵Q点在OA上，且是FA的中点，
∴Q点的坐标为（3，3），
又∵Rt△FDE≌Rt△F′D′E′，DF∥D′F′
∴点D'坐标为（4，6），
把 x=4 代入y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x得y=-$\frac{1}{2}$×42+$\frac{7}{2}$×4=6，
∴点M'（4，6）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x上，
∴点Q的坐标是（3，3），抛物线上与D、F对应的点的坐标分别是D′（4，6）、F′（5，5）．

点评 此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用；此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．