Question

6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，∠A=α，∠ABD=β，若tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，求：tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于点E，由tanα=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$、tanβ=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$设DE=x，则AE=2x，BE=3x，AB=5x，根据勾股定理求得AD=$\sqrt{5}$x、BD=$\sqrt{10}$x，再证△ADE∽△ABC得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{x}{BC}=\frac{\sqrt{5}x}{5x}$，从而求出BC=$\sqrt{5}$x，根据勾股定理求得DC=$\sqrt{5}$x，即可得答案．

解答 解：如图，作DE⊥AB于点E，

则∠AED=∠BED=90°，
∵tanα=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴设DE=x，则AE=2x，BE=3x，
∴AB=5x，
由勾股定理可得AD=$\sqrt{5}$x，BD=$\sqrt{10}$x，
∵∠AED=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{x}{BC}=\frac{\sqrt{5}x}{5x}$，
解得：BC=$\sqrt{5}$x，
由勾股定理可得DC=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}x）^{2}-（\sqrt{5}x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴tan（α+β）=tan∠ADC=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{5}x}$=1．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，结合题意建立合适的直角三角形并表示出所需边的长度是解题的关键．