题目内容
方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．那么请你帮设计人员计算一下：△ABC中，C到AB的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN面积最大，此矩形的高DN应为何值？
在实际施工时，发现在AB上距B点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．
考点：相似三角形的应用,勾股定理,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义
专题：
分析：（1）首先利用勾股定理得出BC的长，进而利用得出△ABC的面积求出即可；
（2）利用△CNF∽△CAB，得出
=
，进而得出矩形面积表达式，利用二次函数最值求出即可；
（3）利用由圆的对称性，以AB的垂直平分线为对称轴作C的对称点C′，出答案即可．
（2）利用△CNF∽△CAB，得出
| h-DN |
| h |
| NF |
| AB |
（3）利用由圆的对称性，以AB的垂直平分线为对称轴作C的对称点C′，出答案即可．
解答：
解：（1）如图，∵AB是直径，且AB=100，AC=80，
∴BC=
=60，（2分）
∴S△ABC=
AC•BC=
AB•h，（4分）
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距离为48米．（6分）
（2）设DN为x米，则∵△CNF∽△CAB，
∴
=
．
∴NF=
，（9分）
∴S矩形DEFN=x•
=-
x2+100x，（11分）
当x=24时，游乐场面积最大．（12分）
（3）当游乐场面积最大时，DN=EF=24米，
=tan∠ABC=
=
=
，
=tan∠BAC=
=
=
．
易得BE=18米，AD=32米．（15分）
则BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案．（17分）
由圆的对称性，可把△ABC划分到半圆的左边．（20分）
解：（1）如图，∵AB是直径，且AB=100，AC=80，∴BC=
| 1002-802 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距离为48米．（6分）
（2）设DN为x米，则∵△CNF∽△CAB，
∴
| h-DN |
| h |
| NF |
| AB |
∴NF=
| 100(48-x) |
| 48 |
∴S矩形DEFN=x•
| 100(48-x) |
| 48 |
| 25 |
| 12 |
当x=24时，游乐场面积最大．（12分）
（3）当游乐场面积最大时，DN=EF=24米，
| EF |
| BE |
| AC |
| BC |
| 8 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| DN |
| AD |
| BC |
| AC |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
易得BE=18米，AD=32米．（15分）
则BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案．（17分）
由圆的对称性，可把△ABC划分到半圆的左边．（20分）
点评：此题主要考查了相似三角形的应用以及二次函数最值求法，利用相似三角形的性质得出比例式进而求出是解题关键．
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