Question

已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点Ａ的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；

（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点Ｃ、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意得解之得

∴ ……………………………………………………2分

         画图略…………………………………………………………………………3分

（2）∵四边形AA′B′B为菱形

∴AA′=B′B′==5

∵=

∴向右平移5各单位的抛物线的解析式为y′ ………5分

（3）抛物线y′

与x轴有两个交点坐标，分别是C（2，0）B′（6，0），B′C=4

设直线AB′的解析式是

解得

直线解析式为，与y轴交于点Ｍ（0，3）……………………6分

①作线段BC的垂直平分线交直线ＡB′于点P₁，点P₁的横坐标为4则

，∴P₁（4，1）…………………………………………………7分

②以点B′为圆心，B′C长为半径作弧，交直线与点P₂，P₃点

∵B′C＝4 ∴P₂ B′＝4

过点P₂作H₁ P₂⊥x轴

∴△P₂ H₁ B′∽△MOB′

∴，

∴

当时，，

∴P₂有对称性可知P₃的纵坐标为

∴P₃………………………………………………9分

③以点C为圆心， CB′长为半径作圆，交直线AB′于点P₄，设P₄（）

则

解这个方程得

∴P₄   ……………………………………………………………10分

满足条件得点p共有4个，分别是P₁（4，1），

P₂ P₃，P₄．…………………11分

【相关知识点】一次函数、二次函数，一元二次方程，三角形的有关计算

【解题思路】把已知抛物线向上下左右平移后求其解析式，需将已知抛物线化成顶点式，根据“左加右减上加下减”的原则求出平移后的抛物线；已知两定点，在限定的直线上求一点使它和已知两定点构成等腰三角形，需分两种情况考虑：一是这两定点为等腰三角形的底，做这条线段的垂直平分线，垂直平分线与限定直线的交点即为所求的其中一个点；二是这两定点为等腰三角形的腰，分别以这两定点为圆心，两定点确定的线段长为半径作圆，这两个圆与限定直线的交点即为所求.这种用圆规找点的方法不会漏掉任何一个点，达到找点时不重不漏的要求.