Question

7．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按下图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm．如图②所示，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．此时DE与AC相交于点Q，连结PQ．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF和点P同时停止移动．设移动时间为t（s）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形？
（3）连结PE，当四边形APEC的面积最小时，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）由（1）求得CE=CQ=t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，AP=12-2t，当∠APQ=90°时，根据cosA=$\frac{AP}{AQ}$列方程解得t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$，当∠AQP=90°时，根据cosA=$\frac{AQ}{AP}$得到方程$\frac{6\sqrt{3}-t}{12-2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此方程无解，于是得到当t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N（如图2），在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，由三角函数得到PN=$\sqrt{3}$．求得S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=18$\sqrt{3}$，于是得到S_{四边形APEC}=S_△ABC-S_△PBE=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-t）$•\sqrt{3}$t，=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-3$\sqrt{3}$t+18$\sqrt{3}$．求出t=3时，S_{四边形APEC}最小，即可得到结果．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，
∴AB=12cm，AC=6$\sqrt{3}$cm，
依题意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，
∵BP=2t，
∴AP=12-2t．
当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP=AQ，
∴12-2t=6$\sqrt{3}$-t，
解得t=12-6$\sqrt{3}$，
即当t=12-6$\sqrt{3}$时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）由（1）求得CE=CQ=t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，AP=12-2t，
当∠APQ=90°时，cosA=$\frac{AP}{AQ}$，
∵∠BAC=30°，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{12-2t}{6\sqrt{3}-t}$，
解得：t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$，
当∠AQP=90°时，cosA=$\frac{AQ}{AP}$，
∴$\frac{6\sqrt{3}-t}{12-2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此方程无解，
∴当t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N（如图2），
∵在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，
∴PN=$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=18$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形APEC}=S_△ABC-S_△PBE=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-t）$•\sqrt{3}$t，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-3$\sqrt{3}$t+18$\sqrt{3}$．
∴当t=3时，S_{四边形APEC}最小，
∴此时，BE=6-t=3=CE，PB=2t=6=AP，
∴PE=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大，利用已知表示出各线段长度是解题关键．