Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+a²+b的图象为图所示的图象之一，则a的值是-1．

Answer 1

分析 分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为（0，a²），与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a²=3，由抛物线与x的交点坐标得到x²=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点（-1，0）代入解析式得到a-b+a²+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把（-3，0）和（0，0）分别代入解析式可计算出a的值．

解答 解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax²+a²，其顶点坐标为（0，a²），而a²＞0，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax²+a²，a²=3，而当y=0时，x²=-a，所以-a=4，a=-4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=-1，y=0，则a-b+a²+b=0，所以a=-1；
若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a²+b=0①；令x=-3，y=0，则9a-3b+a²+b=0②，由①②得a=-3，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个．
故答案为-1．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式．