Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG²=BF•BO．试证明BG=PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=

3

3

．求弦CD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何综合题

分析：（1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．
（2）连结OG，由BG²=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．
（3）连结AC、BC、OG，由sinB=

3

3

，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．

解答：（1）证明：连结OP，

∵EP=EG，
∴∠EPG=∠EGP，
又∵∠EGP=∠BGF，
∴∠EPG=∠BGF，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，
∴∠EPG+∠OPB=90°，
∴直线EP为⊙O的切线；

（2）证明：如图，连结OG，OP，

∵BG²=BF•BO，
∴

BG

BO

=

BF

BG

，
∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO=∠BFG=90°，
由垂径定理知：BG=PG；

（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，

∵sinB=

3

3

，
∴

OG

OB

=

3

3

，
∵OB=r=3，
∴OG=

3

，
由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，
∴∠B=∠OGF，
∴sin∠OGF=

3

3

=

OF

OG

∴OF=1，
∴BF=BO-OF=3-1=2，FA=OF+OA=1+3=4，
在Rt△BCA中，
CF²=BF•FA，
∴CF=

BF•FA

=

2×4

=2

2

．
∴CD=2CF=4

2

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．