Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何图形问题,压轴题,动点型

分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．

解答：解：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

则AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=

AC2+BC2

=5cm．
∵AD=AF=AC-FC=4-r，BD=BE=BC-EC=3-r，
∴4-r+3-r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．

（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂足为G．

∵∠PGB=∠C=90°，
∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，
∴

PG

AC

=

BG

BC

=

BP

BA

．
∵BP=t，
∴PG=

AC

BA

×BP=

4

5

t，BG=

BC

BA

×BP=

3

5

t．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．
①当⊙P与⊙O外切时，

如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四边形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=GE，
∴OH=OE-HE=1-

4

5

t，PH=GE=BC-EC-BG=3-1-

3

5

t=2-

3

5

t．
在Rt△OPH中，
由勾股定理，(1-

4

5

t)2+(2-

3

5

t)2=(1+t)2，
解得 t=

2

3

．

②当⊙P与⊙O内切时，

如图4，连接OP，则OP=t-1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四边形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG-MG=

4

5

t-1，
OM=EG=BC-EC-BG=3-1-

3

5

t=2-

3

5

t，
在Rt△OPM中，
由勾股定理，(

4

5

t-1)2+(2-

3

5

t)2=(t-1)2，
解得 t=2．
综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=

2

3

s或t=2s．

点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．