Question

已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明AC=AB+BD．
方法一：截长法：（图2）
在较长的线段上截一条线段等于较短线段．
方法二：补短法：（图3）
延长较短线段和较长线段相等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：方法一、在AC上截取AE=AB，连接DE，根据SAS推出△BAD≌△EAD，根据全等三角形的性质得出BD=DE，∠B=∠AED，求出∠C=∠EDC，推出DE=EC=BD即可；方法二、如图3，延长AB到F，使AF=AC，连接DF，根据SAS推出△FAD≌△CAD，根据全等得出∠C=∠F，求出∠F=∠BDF，推出BD=BF即可．

解答：解：方法一、在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中

AD=AD ∠BAD=∠EAD AB=AE

∴△BAD≌△EAD，
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=EC=BD，
∴AC=AE+CE=AB+BD；
方法二、如图3，延长AB到F，使AF=AC，连接DF，
∵在△FAD和△CAD中

AF=AC ∠FAD=∠CAD AD=AD

∴△FAD≌△CAD，
∴∠C=∠F，
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴BD=BF，
∴AC=AF=AB+BD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意有两种方法：截长法和补短法．