Question

如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.

（1）证明：∠CAE＝∠CBF；

（2）证明：AE＝BF；

（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S_△ABC和S_△ABG，如果存在点，能使得S_△ABC＝S_△ABG ，求∠C的取值范围.

Answer 1

（1）∵△是等腰△，是底边上的高线，∴，

    又∵，∴△ ≌△，

    ∴，即;                     ……4分

   （2）∵，，,

    ∴△ ≌△，∴;                         ……4分

   （3）由（2）知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，

    1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;

    2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°–2∠，

    只须180°–2∠∠，解得 60°∠ 90°.   …… 4分

   （也可在中通过比较和的大小而得到结论）