Question

【题目】如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2．下面四个结论：

①BF=；

②∠CBF=45°；

③∠CED=30°；

④△ECD的面积为，

其中正确的结论有_____．(填番号)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH＝AC＝+1，利用旋转性质得CD＝CA＝2+2，则利用三角形面积公式可计算出△ECD的面积，从而可对④进行判断．

∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，

∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，

∴△CBF为等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝2，∠CBF＝45°，所以①②正确；

∵直线DF垂直平分AB，

∴FA＝FB，BE＝AE，

∴∠A＝∠ABF，

而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，

∴∠A＝22.5°，

∵CE为斜边AB上的中线，

∴EC＝EA，

∴∠ECA＝∠A＝22.5°，

∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；

作EH⊥BD于H，如图，

∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，

∴CD＝CA＝2+2，

∵点E为AB的中点，

∴EH＝AC＝+1，

∴△ECD的面积＝（+1）（2+2）＝2+3，所以④正确．

故答案为：①②④．