Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AC⊥AB，点E在BC上，点F在CD上，满足∠EAF=60°，AE=7，BE：EC=5：11，则DF=6．

Answer 1

分析 先过点A作AH⊥BC于H，设BE=5x，EC=11x，得到BH=4x，AH=4$\sqrt{3}$x，HE=x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得AH²+HE²=AE²，根据（4$\sqrt{3}$x）²+x²=7²，解得x=1，进而得到AH=4$\sqrt{3}$，HE=1，AB=8，AC=8$\sqrt{3}$，再判定△AHE∽△ACF，根据$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CF}$，可得$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{CF}$，即可得到CF=2，再根据DF=CD-CF进行计算即可．

解答 解：如图，过点A作AH⊥BC于H，

设BE=5x，EC=11x，
在Rt△ABC中，∵∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=8x，AC=8$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABH中，∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=4x，AH=4$\sqrt{3}$x，HE=BE-BH=x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得AH²+HE²=AE²，
即（4$\sqrt{3}$x）²+x²=7²，
解得x=1，
∴AH=4$\sqrt{3}$，HE=1，AB=8，AC=8$\sqrt{3}$，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ACF=∠BAC=∠AHE=90°，CD=8，
∵∠EAF=60°，∠HAC=90°-30°=60°，
∴∠HAE=∠CAF，
又∵∠AHE=∠ACF，
∴△AHE∽△ACF，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CF}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{CF}$，
∴CF=2，
∴DF=CD-CF=8-2=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形及直角三角形，依据勾股定理列方程求解，依据相似三角形的对应边成比例进行计算．