Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线AC上一点，直线AE⊥直线BD，垂足为E，直线AE和直线BC交于点H，过点C作AB的平行线，交直线AE于F，连DF．
（1）若D在线段AC上（如图1），求证：∠CDB=∠CDF；
（2）若D在AC延长线上（如图2），求证：∠CDB+∠CDF=180°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）求出∠3=∠4，∠1=∠2，根据ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根据SAS推出△CHF≌△CDF，推出∠H=∠CDF即可；
（2）求出∠3=∠4，∠1=∠2，根据ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根据SAS推出△CHF≌△CDF，推出∠CHF=∠CDF即可．

解答：
证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，
∴∠3=∠4，
∴在Rt△ACH中，∠1+∠H=90°，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△BEH中，∠2+∠H=90°，
∴∠1=∠2，
在△ACH和△BCD中，

∠1=∠2 AC=BC ∠ACH=∠BCD=90°

，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴CH=CD，∠H=∠CDB，
在△CHF和△CDF中

CH=CD ∠3=∠4 CF=CF

∴△CHF≌△CDF（SAS），
∴∠H=∠CDF，
∴∠CDB=∠CDF；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，
∴∠3=∠4，
∴在Rt△ADE中，∠1+∠ADE=90°，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△BEH中，∠2+∠ADE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ACH和△BCD中

∠1=∠2 AC=BC ∠ACH=∠BCD=90°

，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴CH=CD，∠ACH=∠CDB，
在△CHF和△CDF中

CH=CD ∠3=∠4 CF=CF

∴△CHF≌△CDF（SAS），
∴∠CHF=∠CDF，
∵∠DCH+∠CHE+∠DEH+∠CDE=360°，
∴∠ACH+∠CHF=180°，
∴∠CDB+∠CDF=180°．

点评：本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质和判定的应用，题目比较好，证明过程类似．