Question

8．如图，M、N是单位正方形ABCD边BC、CD的中点，连接AM、DM、AN、BN，则这些线段所围成的四边形APQR的面积是$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 连接AC、PR、MN，如图所示．根据轴对称的性质可得：点Q在AC上，PR∥MN，AC⊥PR．由AC⊥PR可得S_{四边形APQR}=$\frac{1}{2}$AQ•PR，只需证明△APR∽△AMN及△ABQ∽△CNQ，然后运用相似的三角形的性质求出PR及AQ，即可解决问题．

解答 解：连接AC、PR、MN，如图所示．
根据轴对称的性质可得：点Q在AC上，PR∥MN，AC⊥PR．
由tan∠CBN=$\frac{1}{2}$=tan∠BAM可得∠CBN=∠BAM，由此可得∠APB=90°．
由cos∠BAM=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AB}{AM}$，AM=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AB=1可得AP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由PR∥MN可得△APR∽△AMN，从而可得$\frac{PR}{MN}$=$\frac{AP}{AM}$=$\frac{4}{5}$．
由MN=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得PR=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
由AB∥CD可得△ABQ∽△CNQ，从而可得$\frac{AQ}{CQ}$=$\frac{AB}{CN}$=2，
即可得到AQ=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
由AC⊥PR可得S_{四边形APQR}=$\frac{1}{2}$AQ•PR=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{5}$=$\frac{4}{15}$．
故答案为$\frac{4}{15}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质，对角线互相垂直的三角形面积公式、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义等知识，巧妙地运用轴对称的性质是解决本题的关键．