Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．

（1）请你直接写出：

①抛物线的解析式　 　；

②直线CD的解析式　 　；

③点E的坐标（　 　，　 　）；

（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE＝45°，请你求出此时点P的坐标；

（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣4x+3，②y＝x+3，③（5，8）；（2）P1（1，0），P2（9，0）；（3）Q（3+，3+2）．

【解析】

（1）①假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将A，B代入，即可求出抛物线的解析式；

②设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C，D代入可得直线CD的解析式；

③联立两个解析式可得E点坐标；

（2）过点E作EH⊥x轴于H，由已知可推出CD＝，DE＝，EC＝，△ECP∽△EPD，由此可得PE2，根据勾股定理可得PH，由此即可求出点P的坐标；

（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N，设Q（t，t2﹣4t+3），由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，由此可推出△QHB∽△AHM，据此可得QN⊥AM，当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，根据勾股定理可得t值，即可推出点Q坐标．

（1）①∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），

∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得到a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；

②设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，

解得，

∴直线CD的解析式为y＝x+3；

③由，解得或，

∴E（5，8），

故答案为：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，（5，8）；

（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H，

∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），

∴OC＝OD＝3，EH＝8，

∴∠PDE＝45°，CD＝，DE＝，EC＝，

当∠CPE＝45°时，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，

∴△ECP∽△EPD，

∴，

∴PE2＝ECED＝80，

在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，

∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P，

∴P1（1，0），P2（9，0）；

（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N，

设Q（t，t2﹣4t+3），由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，

∴＝＝t﹣3＝，

∵∠QHB＝∠AHM＝90°，

∴△QHB∽△AHM，

∴∠BQH＝∠HAM，

∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，

∴∠HAM+∠ABN＝90°，

∴∠ANB＝90°，

∴QN⊥AM，

∴当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，

在Rt△BHM中，BH＝＝＝，

∴t＝3+，

∴Q（3+，3+2）．