Question

【题目】如图，已知双曲线y=和直线y=-x+2，P是双曲线第一象限上一动点，过P作y轴的平行线，交直线y=-x+2于Q点，O为坐标原点．

（1）求直线y=-x+2与坐标轴围成三角形的周长；

（2）设△PQO的面积为S，求S的最小值．

（3）设定点R（2，2），以点P为圆心，PR为半径画⊙P，设⊙P与直线y=-x+2交于M、N两点．

①判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由；

②求S△MON=S△PMN时的P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，；（3）①点在上，理由见解析；②或．

【解析】

（1）先求直线y=-x+2与坐标轴的交点A,B坐标，利用勾股定理求AB，即可得△OAB的周长。

（2）设，即可得出S=，利用二次函数最值即可求得

（3）①利用勾股定理或两点之间距离公式可求得PR2和PQ2，由PQ=PR，可得点Q在⊙P上；

②根据等腰直角三角形性质可得OE=，PD=,再由,可得OE=PD，进而可得，从而可求得点P的坐标。

解：（1）如图，在中，令，得，令，得，解得，

∴，

∴，，

∴的周长

；

（2）设，则，

∴

∴

∴当时，；

（3）①点在上．如图2，设，

由（2）知，

∴

过点作轴，过点作轴，

与交于，则

∴，

∴

∴

∴

∴点在上；

②如图3，过点作于，过点作于，则

∵，

∴，

∴，

∵轴

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴或．