Question

9．如图，将二次函数y=x²-m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y₁，另有一次函数y=x+b的图象记为y₂，则以下说法：
①当m=1，且y₁与y₂恰好有三个交点时b有唯一值为1；
②当b=2，且y₁与y₂恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜$\frac{7}{4}$；
③当m=-b时，y₁与y₂一定有交点；
④当m=b时，y₁与y₂至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．
其中正确说法的序号为②④．

Answer 1

分析 ①错误．如图1中，当直线y=x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．
②正确．如图2中，当抛物线经过点（-2，0）时，0=4-m，m=4，观察图象可知m＞4时，y₁与y₂恰有两个交点．
③错误．如图3中，当b=-4时，观察图象可知，y₁与y₂没有交点，故③错误．
④正确．如图4中，当b=4时，观察图象可知，b＞0，y₁与y₂至少有2个交点，且其中一个为（0，b），故④正确．

解答 解：①错误．如图1中，当直线y=x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．

②正确．如图2中，当抛物线经过点（-2，0）时，0=4-m，m=4，观察图象可知m＞4时，y₁与y₂恰有两个交点．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+m}\end{array}\right.$消去y得到x²+x+2-m=0，当△=0时，1-8+4m=0，
∴m=$\frac{7}{4}$，
观察图象可知当0＜m＜$\frac{7}{4}$时，y₁与y₂恰有两个交点．故②正确．
③错误．如图3中，当b=-4时，观察图象可知，y₁与y₂没有交点，故③错误．

④正确．如图4中，当b=4时，观察图象可知，b＞0，y₁与y₂至少有2个交点，且其中一个为（0，b），故④正确．


故答案为②④

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型．