Question

13．已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等时，则t为$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 分点Q在AD，DC，CB边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．

解答 解：当Q在DA上时，如图所示：

此时△APB≌△CQD，
∴BP=DQ，即t=4-4t，
解得t=$\frac{4}{5}$；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QAD≌△PA，
∴BP=QD，即4t-4=t，
解得t=$\frac{4}{3}$；
若Q在下边，则△APB≌△BQC，
则BP=CQ，即8-4t=t，
解得t=$\frac{8}{5}$；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APB≌△DQC，
∴BP=CQ，即4t-8=t，解得t=$\frac{8}{3}$，
因为当点P与点Q相遇时停止运动，
所以0≤t≤$\frac{12}{5}$，所以t=$\frac{8}{3}$不合题意；
当P、Q在BC上重合时，△ABP和△ABQ全等，如图所示：

∴此时，t=$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时要对点Q的不同位置进行分类讨论，以防漏解，该题综合性较强．