Question

3．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（5，-2）、点B（3，-4），M、N为x轴和y轴上的动点，四边形ABNM的周长最小为10+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于M，交y轴于N，则此时四边形ABNM的周长最小，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．

解答 解：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于M，交y轴于N，
则此时四边形ABNM的周长最小，
最小值=A′B′+AB，
∵点A（5，-2）、点B（3，-4），
∴点A′（5，2）、点B′（-3，-4），
∴AB=$\sqrt{（5-3）^{2}+（-2+4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，A′B′=$\sqrt{（5+3）^{2}+（2+4）^{2}}$=10，
∴四边形ABNM的周长最小值=10+2$\sqrt{2}$，
故答案为：10+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．