Question

8．在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A+∠B=90°，若AB=10，DC=5，则梯形ABCD面积的最大值为$\frac{75}{4}$．

Answer 1

分析 取AB的中点E，连接ED和CE，作CF⊥AB于F，得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，推出四边形ADCE与四边形BCDE是平行四边形，根据平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，得到△ADE与△BCE是直角三角形，当CF最大时，梯形ABCD面积的最大，得到当△ADE与△BCE是等腰直角三角形时，CF最大，此时CF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$，于是得到结论．

解答 解：取AB的中点E，连接ED和CE，作CF⊥AB于F，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=10，DC=5，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=CD=BE，
∵DC∥AB，
∴四边形ADCE与四边形BCDE是平行四边形，
∴CE∥AD，ED∥BC，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠2=∠B+∠1=90°，
∴△ADE与△BCE是直角三角形，
∵当CF最大时，梯形ABCD面积的最大，
∴当△ADE与△BCE是等腰直角三角形时，CF最大，此时CF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（10+5）×$\frac{5}{2}$=$\frac{75}{4}$，
故答案为：$\frac{75}{4}$．

点评 本题考查了梯形的性质，梯形的面积的计算，平行四边形的判定和性质，得到△ADE与△BCE是等腰直角三角形梯形的面积最大是关键．