题目内容
【题目】图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A(﹣6，0)，它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO=∠ACO=30
(1)求直线l1，l2的函数表达式；
(2)设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP=24
．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；
(3)如图2，在(2)的条件下，将△ACP沿射线PA方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．
【答案】(1)直线l2的解析式为
，直线l1的解析式为
；(2)
；(3) （﹣9﹣3
，3
﹣
）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）
【解析】
（1）求出B，C两点坐标利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设点P（m，
m+2），利用三角形的面积公式求出点P坐标，如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
（3）由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a，a+6）．分三种情形：①当AC′＝AP＝8时．②当C′A＝C′P时．③当PA＝PC′＝8时，分别求解即可解决问题．
解：（1）如图1中，
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，
∴OC＝OA＝6，OB＝OA＝2，
∴C（0，6），B（O，2），
∴直线l2的解析式为y＝x+6，直线l1的解析式为y＝x+2．
（2）设点P（m， m+2），∵S△APC＝S△ABC+S△BCP，
∴
BC（xP﹣xA）＝24，
∴×4×（m+6）＝24，
解得m＝6，
∴P（6，4），
如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
∵∠CAP＝∠PAO＝30°，
∴点C′在x轴上，AC′＝AC＝12，
∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，
∴∠P′AC′＝90°，PA＝P′A＝8
，
∴P′C′＝
＝
＝4
，
∴CM+MN+NP的最小值为4．
（3）如图2中，
由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a， a+6）．
①当AC′＝AP＝8时，（a+6）2+（a+6）2＝（8）2，
解得a＝﹣9﹣3或﹣9+3（舍弃），
∴C′（﹣9﹣3，3﹣）．
②当C′A＝C′P时，（a+6）2+（a+6）2＝（a﹣6）2+（a+6﹣4）2，
解得a＝﹣3，
∴C′（﹣3，5）．
③当PA＝PC′＝8时，（a﹣6）2+（a+6﹣4）2＝（8）2，
解得a＝3﹣3或3+3（舍弃）
∴C′（3﹣3，7﹣）
综上所述，满足条件的点C′的坐标为（﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）．
【点晴】
一次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，学会构建方程解决问题．
