Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的⊙O与AB交于点F，与BC交于点E．连接AE，AE平分∠BAD．

（1）求证：BC与⊙O相切于点E；

（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半径；

（3）若AD与⊙O的交点为△ABC的重心，则的值为 ．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）r=；（3）．

【解析】分析：（1）利用OA=OE得出∠AEO=∠OAE，再由角平分线得出∠BAE=∠DAE，即得出OE∥AD即可；（2）先求出CD=8，再用勾股定理求出AD=6，进而用角平分线定理即可得出BE=5，最后用相似三角形的性质得出结论；（3）先用切割线定理得出DE，进而用勾股定理得出AE，∠BAE=30°，即可得出BE=AE，即可得出结论．

本题解析：

（1）如图，连接OE．

∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA；

∵AD为中线，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°；

∵AE平分∠BAD，∴∠OAE=∠EAD=∠OEA，∴∠OEA+∠AED=90°，即OE⊥BC，又∵点E在⊙O上，∴BC与⊙O切于点E．

（2）设⊙O半径为r．

∵AB＝AC，AD为中线，且AB=10，BC=16，∴AD⊥BC，CD=8；

∴在Rt△ACD中，CD=8，∵OE⊥BC，AD⊥BC，∴OE∥AD，∴△BOE∽△BAD；∴ ，即， ．

解得r=．

（3）．